“点阵中的规律”教学设计与评析
时间：2016-10-24 来源：网络整理 作者：佚名
教学内容：北师大版义务教育课程标准实验教科书五年级上册第82~83页。
教学目标：
1.在生动有趣的观察、操作活动中寻找图形的特点，从而探索出点阵中的规律，并体会图形与数的联系。
2.通过数学活动，提高归纳、概括和逻辑思维能力，感受数学与生活的密切联系。
3.增强审美意识，培养数学审美能力。
教学重点：引导学生发现和概括点阵中的规律。
教学难点：能从不同的角度观察到“点阵”图形的不同排列规律，寻求多种解决问题的方法，体会图形与数的联系。
教学过程：
一、联系生活，激发兴趣
1.出示实物（地砖）。
（1）同学们，你知道，装修要用哪些材料吗？（木料、地砖……）
（2）教师出示实物（地砖），同学们拿出地砖图片。仔细观察。你从这块地砖上看到了什么？（有25个防滑块。）
（3）你是怎样看出的？（横着看，每行5个，有5行。5×5=5=25）
2.引导渗透，理解“点阵”。
（1）在铺地面时，有时不需要这么大的地砖，就要将地砖进行切割，如果切掉这一行一列就成了怎样的图？（学生思考回答，教师展示相应的图片。从右边往左边看。）
（2）如果我们将一个个防滑块看作一个个点，就成了“点子图”。人们把这样的点子图叫做“点阵”。早在2000多年前，古希腊的数学家们就已经利用一些有序排列的点子图形来研究数，发现和总结数的一些特征。
二、自主探索，发现规律
1.操作观察，发现规律。
（1）仔细观察上面的点阵图，每个点阵分别有多少个点呢？
（2）你是怎样得到的？教师根据学生的回答（预设）板书：
1=1×1=1
4=2×2=2
9=3×3=3
16=4×4=4
25=5×5=5
（3）第6个“点阵”是怎样的？你能画出来吗？你能用算式表示出来吗？
（4）第7个，第8个……第100个呢？
2.合作讨论，发现规律。
（1）刚才我们用横着数的方法来研究点阵中的规律，除了横着划分，还有其他方法吗？以5×5为例，先自己独立思考后小组讨论。（学生思考后，教师出示“点阵”图。）
（2）汇报交流，教师相机板书：
1+3+5+7+9=25=5×5=5
（3）1+3+5+7+9与5×5这两个算式之间有没有必然的联系呢？4×4是否也能写成这样几个数相加呢？试着写写看。
启发学生写出：1+3+5+7=16=4×4=4
（4）这个算式可以用哪个点阵图来表示？
3.归纳推理，概括规律。
（1）从以上两个式子里，你得到哪些启发（有什么规律）？你能不能写出几个类似这样的式子？可以用怎样的点阵来表示？请你写一写，画一画。
学生（写出后）汇报，教师引导学生概括出如下规律：
1+3=2×2=2
1+3+5=3×3=3
1+3+5+7=4×4=4
1+3+5+7+9=5×5=5
1+3+5+7+9+11=6×6=6
……
1+3+5+7+9+……+197+199=100×100=100……
（2）说明并认识规律。
从1开始的连续几个奇数和，等于几乘几，就是几的平方。
4.多方思考，不断提升。
（1）同学们横着划分（或用折线划分）“点阵”，得到了以上的规律，你们还能想出其他的划分方法吗？（小组讨论、思考后，出示下图。）
（2）你能根据上面的“点阵”写出相应的算式吗？
根据学生写出的算式，形成如下板书：
1=1=1
1+2+1=2×2=2
1+2+3+2+1=3×3=3
1+2+3+4+3+2+1=4×4=4
（3）引导思考：点阵与数的关系。利用“规律”推出以下算式：
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6=6
……
1+2+3+4+5+6……+99+100+99+……+3+2+1=100×100=100
（3）这些算式相应的点阵图是怎样的？（自己画一画。）
（4）从以上的算式中，你又发现了什么规律？
自然数从1开始连续加到几，再从几倒过来连续加到1，结果就是几乘以几，也就是几的平方。
三、反馈延伸，拓展规律
1.同学们通过研究正方形“点阵”，发现平方数原来如此神奇。其实除了正方形的点阵外，还有其他的点阵，如三角点阵、长方形点阵、螺旋点阵等多种形式。
2.观察下列点阵，并在括号里填上适当的算式。
（1×2）（）（）（）
（1）各个点阵的算式应该怎样写？
（2）你是怎样想的？
（3）你能画出第5个点阵并写出算式吗？
（4）你发现了什么？（每个点阵中的点数可以写成两个连续自然数的积。）
3.观察下面点阵的规律。
（1）画出下一个点阵。
（2）根据点阵，写出相应的算式。
（3）你有什么发现？（每个点阵中的点数可以写成从1开始的几个连续自然数的和。）
4.观察下图中的几个图形：
（1）按规律画出下一个点阵。
（2）每个点阵中的点数各是多少？
（3）将这个点阵与长方形点阵比较一下，你发现了什么？
（4）将这个点阵用相应的算式表示出来。
（教师引导学生写出：1+1×21+2×31+3×41+4×5）
（5）总结这个点阵中点数的规律。（点阵中的点数可以写成连续两个自然数的积加上1。）
5.让学生设计点阵并写出算式，教师择优展示，进一步感受数学美。
四、总结提升，促进发展
今天我们研究了什么？是怎样研究的？通过今天的学习，你有什么收获？
评析：数学是对客观世界数量关系和空间形式的一种抽象。因此，在教学中一方面要尽可能让抽象的数学概念在生活中找到原型，另一方面要创造条件，使学生能够用学到的知识去解释日常生活中的数学现象，并能解决一些数学问题。本节课充分体现了“数学教学是数学活动的教学”这一新课程理念。通过一个个有意义的数学活动，引导学生在体验和感悟中学习知识，在探究和思考中发现规律，发展能力，渗透数形结合的思想。
1.注重知识性和情趣性的统一。教师教学时学生能积极思考，主动参与，其间的奥妙全在一个“趣”字。为此，我们呼唤“知情”统一的课堂，要尽可能选取学生熟悉的、感兴趣的学习材料，组织生动活泼、趣味盎然的教学活动，让学生在高涨的学习情绪中主动建构知识。本节课，教师利用生活原型“地砖上防滑块的个数”巧妙地将数与形联系在一起，安排了数点数、画点阵图、写算式等观察、操作、猜想、推理活动，激发学生主动参与对点阵与数之间关系的认识、感受和体验，培养学生的观察、想象与归纳概括能力，提高学生合作交流与创新的意识。
2.注重“生活味”和“数学味”的统一。如果说生活“味”是亲切自然、丰富多彩的，那么数学的“味”则是抽象严谨、精练深刻的。数学教学应使“生活味”与“数学味”有机融合，相得益彰。本节课，教师选取了学生非常熟悉的“地砖”，营造了丰富的生活场景，利用地砖上“防滑块的个数”引出“点阵”，把间接的数学知识与直接的生活经验紧密结合起来，引导学生对生活中积累的数学经验进行总结、升华，有效地掌握数学知识，揭示数学本质，使学生看得见，画得出，理解得深刻。不需要去记忆公式，却能将这些规律牢牢地印在脑中，应用在解决问题中。使学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中体会到数学就在我们生活中。
3.注重基础性和发展性的统一。对小学生而言，要注重感知和体验，让他们在丰富和坚实的基础上主动建构。本节课在学生积累了较为丰富的感性认识后引入“点阵”概念，然后通过看一看、数一数、画一画、写一写、猜一猜等学习活动，领悟“点阵”中隐含的规律。学生在此基础上独立思考，动手操作，形成多样化的划分正方形点阵的方法，培养思维的灵活性。其中，在寻找螺旋点阵的规律时，引导学生与长方形点阵进行比较，使学生受到数学思想方法的熏陶。最后通过“设计点阵”的活动，培养了学生的估测能力和空间想象能力。所有这些，都在一定程度上促进了学生数学素养的提高与人格的完善，使基础性和发展性得到和谐统一。
4.注重数与形的统一。“尝试与猜测”这部分内容是课程标准中的数形结合思想在教材中的具体体现。本节课，教师始终以看图、画图、想象图为基础，由图想数，由数想图，建立数与形两者之间的联系，并使学生感受到对数的研究可以从图形去认识，同时通过数也能研究形，从而很好地渗透了数形结合的思想。
5.注重学生主体与教师主导的统一。新教材强调“以人为本”，发展人的主体性，要充分注意学生在学习中的主动性和积极性的发挥。本节课内容充实，学生活动量大，较好地处理了教师的引导和学生自主合作学习的关系。如，教学中教师巧妙地将探索“拐弯数”的方法渗透于“切割掉一行一列是怎样的图”，当教师提出“除了横着数的方法外，还有没有其他的方法”时，学生立即从“切割”地砖的过程中想到拐弯数的方法，整节课以探索规律活动为主线展开教学，鼓励学生用自己的思考方式主动、积极地探究、操作、发现和总结点阵规律。
