“用比例知识解应用题”教学设计：提升 探究 建构 拓展
时间：2016-10-25 来源：网络整理 作者：佚名
“用比例知识解应用题”是小学数学人教版第12册的总复习内容之一。通过复习要使学生提升对正、反比例意义的认识，进一步掌握用比例知识解应用题的方法，发展探究解决问题策略的能力，沟通“比例”、“方程”、“算术”不同解题方法之间的联系，构建相应的知识结构。同时使学生初步感知世界是普遍存在联系的，各种量之间存在相互依存、变化的关系。从而激发学生探究事物变化规律、学习数学的思想情趣。
一、回顾与提升
1．引导学生回顾比例知识。
（1）用投影仪出示两个商品价格表，分别体现两种数量的正、反比例关系。请同学们说说自己知道哪些比例知识，可以用自己喜欢的方式进行描述。以此唤醒学生体验，为学生自主回顾知识提供广阔的思考空间。
（2）学生汇报。鼓励其用“多元”方式描述对比例知识的理解。如：列表举例说明的方法、常见的数量关系式判断的方法、呈现坐标图像的方法、代数式的表示方法、概念阐述的方法等。学生将比例概念知识与“数量”、“图像”、“字母符号”、“数学现象”等结合理解，为解决实际问题积累了较丰富的经验、体验。
（3）投影出示正、反比例概念。请同学们合作讨论：发现了什么？
（4）总结。理清正、反比例的意义的共同点和不同点，认识到从“变量”中找到“不变（一定）量”的方法，“不变（一定）量”对“变量”进行判断的作用。如：
二 、应用与探究
1．出示教科书中的例5：修一条公路，总长12千米。开工3天修了1.5千米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？（学生独立尝试、探究解答，首先用比例知识解答，然后用其他方法解答。）
2．全班讨论交流。
（1）例5与以前学过的解比例应用题的不同点在什么地方？（稍复杂些，对应数量没有直接给出。）
（2）结合正、反比例的意义说说例5的思考过程，分几步进行，每步做什么。
归纳：基本可以分6步完成：理解数学事例、收集数量、梳理出两种相关联的数量和一种“一定量”、判断成正或反比例、列式解题、检验和反思。
（3）结合例5说说每一步是怎样完成的。
①理解数学事例：修路。
②收集数量信息。此题4条信息。其中两条是显性的：公路总长12千米、3天修了1.5千米；一条是隐性的：“照这样计算”；一条是“未知性”的：修完这条公路还要多少天。重点引导学生讨论“照这样计算”隐含的数学信息是什么。再讨论“还要多少天”的含义。
③梳理两种相关联的量和“定量”。引导学生联系比例的意义进行探究、总结。首先研究梳理出两种相关联的量的策略。如：在原题上用符号划分的方法。“12千米”、“1.5千米”是表示各自修路总长度的量，用符号“△ ”标记；“3天”、“还要多少天”是表示各自修路的天数，用符号“ ○ ”标记。还可以用列项摘记的方法：
修路总长度：1.5千米 （12-1.5）千米
修路天数：3天、还要多少（ x ）天
这些方法可以较直观地看出修路总长度与修路天数是两种变化的量。
再找“不变”的量。如，采用分析法，抓住关键数量信息，找出两种相关联的量变化的规律（积一定或比值一定），例5中的关键信息就是“照这样计算”。还可以采用推测验证方法，利用数量关系组群来推测出量的“变”与“不变”，如，例5中修路总长度、修路天数、每天修的路长就是一组数量关系。可以“由二推测一”，即，从修路长度和修路天数是两种相关联的量，来推测每天修的路长是不变的量；“由一推测二”，从每天修的路长是不变的量，来推测修路总长度和修路天数是两种相关联的量，且是正比例的关系。然后再用题目中的限定条件来验证推测的正确与否。
④判断。从一定（不变）量的规律判断两种相关联的量的比例关系。可以将判断的结果用正、反比例字母关系式的形式写出来，便于列算式。这样可以沟通字母抽象解析式与文字语言描述方式的联系，也可以用文字描述。
⑤列式解答。引导学生特别关注两种相关联的量的“对应”条件。对于间接的数量条件要转化为直接对应的数量条件。为此要找准转化提示“点”。例5问题中的“还要多少天”就是这样的“点”。另外，虽然用比例“模型”解应用题，但也要鼓励学生追求合乎“模型”的不同解题思路，以利形成不同的解决问题的策略。
⑥检验、反思。启发学生自主选择检验方法。如：将结果代入原题、运用比例的基本性质、用算术方法或一般方程方法解答来检验等。反思，即引导学生及时总结自己的和吸纳别人的数学思考、解决问题的策略等。
三、比较与建构
1.对学生列出的不同比例式进行比较。
例如：
（1）“照这样计算”就是说每天修的路长度是一定的，所以修路长度和修路天数成正比例关系。
解：设修完这条路还要x天。
（2）“照这样计算”就是说每千米的路长所需天数是一定的，所以修路天数和修路长度成正比例关系。
解：设修完这条路还要 x 天。
（3）每天修的路长度是一定的
