用“归一”“归总”巧解“牛顿问题”
时间：2016-10-28 来源：网络整理 作者：佚名
“归一”应用题的特点是：每份量保持不变；解决问题时，先求每份量，再算所求量。“归总”应用题的特点是：问题保持不变；解决过程是先求总量，再算所求量。而“牛顿问题”正符合“归一”“归总”应用题的特点。
例1 一艘船出现了一个漏洞，水以均匀的速度进入船舱，当船员发现时，舱内已经灌进了一些水。如果12人来舀水，3小时可以舀尽；如果5人来舀水，10小时可以舀尽。现在要求2小时内把水舀尽，需要多少人?
分析：通过题意可知：①舱内已进入的水(原有水量)一定；②每人每小时舀水量一定；③每小时进水量一定。可设每人每小时舀水量为“1”，进而推导出每小时进水量和舱内已有的水量(原有水量)。
解：(1)总水量=原有水量+3小时的进水量=12人3小时的舀水量=12×3=36
总水量=原有水量+10小时的进水量=5个人10小时的舀水量=5×10=50
(2)比较可得：两次舀水的时间差为10-3=7(小时)
进水总量差为50-36=14
也可以说，7小时的进水量为14人舀水量。那么，1小时的进水量为14÷7=2(人)舀水量。
(3)原有水量=总水量-3小时进水量=12人3小时的舀水量-3×每小时进水量=36-3×2=30
(4)这时，2人去舀每小时的进水量，其他人在2小时内舀完原有水量(30)。
需要人数为：30÷2=15(人)
共需人数：15+2=17(人)
例2 牧场有一片草地，每天草都生长的一样快。这片草地可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天。请问：这片草地可供25头牛吃几天?
分析：通过题意可知：①原有草量一定；②每头牛每天的吃草量一定；③草每天的生长量一定。所以可以设每头牛每天的吃草量为“1”，这样就可以推导出草每天的生长量和原有草量了。
解：(1)总长草量=原有草量+20天长草量=10头牛吃20天草量=20×10=200
总长草量=原有草量+10天长草量=15头牛吃10天草量=10×15=150
(2)比较可得：两次吃草的时间差为20-10=10(天)
两次总长草量的差为200-150=50
也可以说，10天的总长草量为50头牛的吃草量。那么，可得出每天的长草量为50÷10=5头牛的吃草量。
(3)原有草量=总长草量-20天长草量=10头牛吃20天草量-20每天长草量=200-20×5=100
(4)25头牛，分去5头去吃每天长的划，剩下25-5=20头牛去吃原有草量100，需要的天数为100÷20=5(天)。
例3 电影院8时开门，但早有人来排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8时5分就没有人排队。第一个观众到达的时间是几时几分?
分析：通过题意可知：①开门前的原有观众人数一定；②每分钟每个入口处放入的人数一定；③每分钟来的观众人数一定。所以，可以设每分钟每个入口处放入的人数为“1”，这样就可以推导出每分钟来的观众人数和开门前的原有观众人数。
解：(1)总人数=原有人数+9分钟来的人数=3个入口9分钟放入的人数=3×9=27
总人数=原有人数+5分钟来的人数=5个入口5分钟放入的人数=5×5=25
(2)比较可得：两次放入的时间差为9-5=4(分钟）
两次的总人数差为27-25=2
可以说，4分钟来的观众量为2，也就是每2分钟就会来1个观众。那么，可以得出每分钟来的观众量为2÷4=1/2。
(3)原有人数=总人数-9分钟来的人数=3个入口9分钟放入的人数-9×每分钟来的观众量=27-9×1/2=45/2
(4)每2分钟来一名观众，那么来45/2的观众量需要的时间，就是第一个观众等待的时间：45/2×2=45(分钟)。第一个观众到达的时间是8时-45分钟=7时15分。
例4 商场的自动扶梯，以均匀的速度由下而上行驶着，兄妹两人从扶梯上楼，兄每分钟走20级，妹每分钟走15级，结果兄5分钟到达楼上，妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯有多少级可见扶梯?
分析：通过题意可知：①兄妹两人从楼上到楼下所上的总级数一定；②兄妹两人每分钟所上楼的级数差一定。所以，可以设兄妹两人每分钟所上楼的级数差为“1”，这样就可以推导出总级数。
解：(1)兄本人上楼的级数为20×5=100(级)
妹本人上楼的级数为15×6=90(级)
(2)比较可得：兄妹两人上楼的时间差为6-5=1(分钟)
兄妹两人上楼的级数差为100-90=10(级)
也可以说，每分钟的级数差为10÷1=10(级)。
(3)总级数=兄本人上楼的级数+5分钟的级数差=
100+5×10=150(级)
有这样一句话：最复杂的问题，往往从最简单的地方入手。其实，无论是用“分数”思路还是“归一”、“归总”的思路来解决“牛顿问题”，都是引导学生运用已有的知识和经验转难为易，培养他们善于应用、乐于发现、敢于创新的品质。只有这样，才能让学生在数学活动中不断积累经验，体验到创新与成功的乐趣。
