运用等价变形题指导学生解题
时间：2016-10-28 来源：网络整理 作者：佚名
有些数学应用题，因为数量关系较为复杂，学生会感到无从下手，这时，教师可运用非等价变形题引导学生进行分析并解答。
例1．一个面积为20平方厘米的正方形内有一个最大的圆，求这个圆的面积是多少?
分析与解答：题目中正方形的面积是个非完全平方数，如果要让学生求出圆的半径，然后再求出这个圆的面积学生是无从下手的。
因此，可先出示这样一道比较题：“已知一个面积为1平方厘米的正方形内有一个面积最大的圆，求这个圆的面积。”
因为正方形的面积是1平方厘米，学生能很快理解这个正方形的边长即为1厘米，因此面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为：3.14×(1÷2)2=0．785(平方厘米)。
在学生求解出面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积后，教师可再将此题同例1进行比较，这样学生就能很快求出面积为20平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为： 0.785×20=15.7(平方厘米)。
例2.某校上学期共有学生1040人，本学期有学生1360人，其中男生比上学期增加48％，女生比上学期增加20％，求这所学校本学期有男女生各多少人?
分析与解答：题中的两个百分率无直接关系，给解题带来了一定的难度。
因此，可先出示这样一道比较题：“某校上学期共有学生1040人，本学期男女生都比上学期增加了20％，求本学期这所学校共有多少人?”
学生很快求出答案，本学期学校有学生：1040×(1+20％)=1248(人)。
然后再将此题同例2进行比较，学生便发现“男女生都比上学期增加了20％”与例2的“男生比上学期增加48％，女生比上学期增加20％”相关的人数则为：1360-1248=112(人)。因此，可求得上学期的男生人数应为：112÷(48％-20％) =400(人)，所以，本学期的男生人数为：400× (1+48％)=592(人)，本学期的女生人数为：1360- 592=768(人)。
例3.某校学生步行去进行郊游活动，在离开学校3千米处，张老师发现有物品遗留在学校，马上骑自行车以每小时9千米的速度返回学校，拿了物品后又追赶学生队伍，已知学生队伍每小时行4千米，求张老师离开队伍几小时又追赶上学生队伍?
分析与解答：题目不明确张老师从何处追及，以及追及的距离有多长，学生感到无法下手。
因此，可设计以下一道比较题：“某校学生去进行郊游活动，每小时行4千米，队伍离开学校6千米后，张老师才骑自行车以每小时9千米的速度去追赶队伍，问张老师几小时能追赶上队伍?”
学生很快求出答案：张老师追赶上队伍的时间为：6÷(9-4)=1.2(小时)。
然后再将此题与例3进行比较，学生很快看出，张老师在队伍离开学校3千米处返回学校去拿取物品，然后再追及队伍，追及的距离即为当时队伍与学校距离的2倍。因此，学生很快求出例3的答案，张老师追赶上队伍的时间为：3× 2÷(9-4)=1.2(小时)。
例4．某工厂计划在规定的时间内加工一批零件，若每小时加工30个，则比规定时间晚完成 1小时，若每小时加工48个，则比规定时间少用半小时，如果要在规定的时间内完成，每小时要加工几个零件?
分析与解答：学生对题目中“比规定时间晚完成1小时”与“比规定时间少用半小时”这两个条件不理解，因此会感到难以求解。
因此，可出示下列一道比较题：“甲、乙两人同时骑摩托车从A地到B地，甲每小时行48千米，乙每小时行30千米，经过若干个小时，乙离 B地还有36千米，甲超过B地24千米，这时两人如果立即掉头往回走，如果两人的速度不变，问甲追上乙要几小时?”
这是一道追及应用题，学生能很快列式解答，甲追上乙要用的时间为：(24+30)÷(48-30)= 3(小时)。
然后再将此题同例4进行比较，学生即能发现，比较题的追及时间即为例4中加工这批零件的规定时间，因此学生很快求出加工这批零件的规定时间为：(30+48÷2)÷(48-30)=3(小时)。所以，在规定的时间内完成这批零件，每小时要加工的零件个数为：30×(3+1)÷3=40(个)。
例5．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给小班，每人5个则余10个，如果分给大班，每人8个，则有一人分到6个，已知小班比大班多3人。问这筐苹果有几个?
分析与解答：这题比一般的盈余问题多了“小班比大班多了3人”，因此有的学生会望而却步，不知所措。
因此，可出示这样一道比较题：“幼儿园将一筐苹果分给大班的小朋友，
