在问题解决中培养思维的良好品质――一道体积问题解答过程引起的思考
时间：2016-10-28 来源：网络整理 作者：佚名
数学是思维的体操，而问题解决又是学生从事数学学习的一个重要内容，它是培养学生思维能力的一条重要途径。面对一个具有一定问题空间的实际生活中的数学问题，学生的思维活动会经历一个特定的、程式化的过程。在此过程中，学生从弄清问题、明确目标到寻找方法、拟定解题计划，到实施计划解决问题，尽管我们外人似乎无法看得见、摸得着学生的内在思维过程，但整个思维过程切实地存在于学生的头脑中。
当我们静心揣摩学生数学思维的具体过程，我们还是能够把握学生思维的脉搏，并从中发现并想办法解决学生思维过程中存在的种种问题，不断培养学生思维活动的良好品质。下面是我在教学中实践著名数学教育家波利亚“怎样解题表”时的具体情景：
实例描述：
在一堂关于体积问题的练习课上，我给学生们出了下面一道习题：
在一个长24厘米，宽9厘米，高8厘米的长方形水槽中注入6厘米深的水，然后放人一个棱长6厘米的正方体铁块，水面上升了多少厘米?
因为这是学完长方体、正方体体积计算后的第一堂练习课，所以对班中绝大部分学生来说，还是第一次见到此类体积问题。尽管如此，我并没有给予学生相应的提示，而是让学生进行自主探索、尝试解答。片刻工夫之后，学生相继解决了这个问题，当然还是有一部分学生存在困难，仍在冥思苦想而不得其解。从学生的交流讨论中可以看出学生的思维活动主要是围绕弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾反思这个基本过程展开的，具体来说是做出了以下一些思考：
1．“读了题目之后，明确了题中的条件、已知数，弄清了要求的问题。”
——从表面上看，学生已经知道了条件和问题，其实还只是文字层面的。
2．“进行了事理、过程的想象，根据平常生活中的经验，当铁块放入水中时，水面就上升了。”
3．“水在有形的容器中也是有形的，上升的高度其实就是什么呢?就是上升的‘长方体水形’的高度。”
——此时，学生已经弄清楚了问题的实质。
4．“要求长方体的高，这是一个与体积有关的问题。长方体的体积÷底面积=高，这是一个重要的公式。然而，上升的水的体积是多少呢?”
5．“上升的水的体积也就是放入铁块的体积，这样就找到了一个至关重要的关系。”
6．“正方体铁块的体积可由棱长×棱长×棱长求得，这也就是上升的水的体积。”
7．“上升的水的体积(即铁块的体积)÷水槽底面积=水上升的高度”
——此时学生已经在头脑中买现了体积的转化，找到了解决问题的好办法，拟定了解题计划，并付诸实施。
面对一个新问题，学生依照解决问题的基本思路，进行分析思考，调用相关生活经验和已有知识基础，成功地找到了解决新问题的金钥匙。我真为他们感到高兴!
在后来的期末复习课中，我再次拿出了这道习题，并在其中做了一个小手脚，形成了“一数之差”：
在一个长24厘米，宽9厘米，高8厘米的长方形水槽中注入4厘米深的水，然后放入一个棱长6厘米的正方体铁块，水面上升了多少厘米?
初次答题过程：
学生一看到这题，似曾相识，毫不犹豫地解答起来，由于已经有了上次成功的解答经历，这次解题可以说是毫不费劲，一会儿工夫都做完了。在交流汇报中，学生的解答过程都如下：
6×6×6÷(24×9)=1厘米
解答思路仍是“上升的水的体积(即铁块的体积)÷水槽底面积=水上升的高度”。
然而“水面上升1厘米”这个答案恰恰是错误的。
学生们的答题情况是在我意料之中的，已有的认知经验导致了认知上的误区与障碍。
再次探索过程：
怎样让学生认识到这个答案是错误的?是老师直接指出，还是由学生通过反思回顾自己主动意识到呢?
我采取了后者。因为在一次完整的解题过程中，自我回顾反思也是必不可少的，而这一个环节往往是学生们所忽略的，借此机会正好可以让学生体会到回顾反思的重要性。
让学生们反思什么呢?为了引领学生的思路，我提出这样一个问题：上升后水面有多高，你们发现了什么?
学生们讨论开了：
“上升后水面高度为5厘米(4+1)。”
“铁块的高度是6厘米，铁块并没有被水浸没。”
