数形结合，促进两种思维和谐发展
时间：2016-10-29 来源：网络整理 作者：佚名
“数无形而少直观，形无数而难入微。”华罗庚教授非常精辟而又通俗地阐明了数和形结合的必要性。“数形结合”不仅是培养和发展学生形象思维的重要手段，而且是促进抽象思维与形象思维互助互补、和谐发展的有效途径。那么，怎样运用“数形结合”的方法促进两种思维的和谐发展呢?
一、充分感知，积累表象，发展形象思维
教学中，必须加强直观教学，为学生提供足够的感性材料，让学生运用多种感官充分感知，丰富学生的表象储备，提高表象的概括性。
例如，学生在认识“周长”时，由于受到自身注意力水平的制约，往往只注意图形的面，而不注意它的边。因此，就需要教师把周长外化出形象，通过展示周长形象来启迪学生的形象思维，理解周长的意义。教学时，可以先复习有关平面图形的名称、特点，让旧知得以再现后，再拿出两根长短不同的红线，让学生思考怎样才能知道这两根线的长度，揭示周长也是一根“线”，可以用直尺量出长度。然后用这两根红线在钉子板上分别围成有关的平面图形，引导学生观察用线围的动态演示过程，思考这两根线分别是每个平面图形的哪一部分，让学生明白“线”具有一定的长度，为进一步理解周长的含义、特征奠定了基础。
在展示周长形象的基础上，为了让学生充分感知平面图形的周长，建立准确、清晰的周长表象，促进学生形象思维的发展，可以让学生先观察在钉子板上围成每个平面图形的边各占几根钉子，再量一量每个平面图形的边各是多少厘米，并根据量出的数据说一说：围成的每个平面图形各用了多长的线?怎样算出来?引导学生从对周长形象的部分感知上升到对整体的感知，在头脑中把每个平面图形的几条边形象地进行移动、整合，最后得出“线的总长是由周成每个平面图形各边的线段组成的，它的长度就是几条边长度的总和”，从而建立起周长的表象。
二、语言参与，概括表象，引发抽象思维
表象具有直观形象性和抽象概括性的双重特征。语言是对表象进行分析综合形成概念的工具，是思维的物质外壳。知识的获得与相应的智力活动的进行，都离不开语言的参与。例如，学习长方形面积的计算时，引导学生用边长1厘米的正方形摆放成长与宽的厘米数分别是3和1、3和2、4和3的三个长方形，先看每个图形一排摆几个，一共摆几排，然后在表格里填出每个长方形的长、宽与面积，并回答下面的问题：(1)每排摆了几个边长1厘米的正方形?这与长方形的“长”有什么关系?(2)一共摆了几排?这与长方形的“宽”有什么关系?通过讨论，逐步概括出：每排摆几个边长1厘米的正方形，长就是几厘米；一共摆几排，宽就是几厘米。接着出示下面的三个图形和表格：
让学生先想摆的过程，再逐一说出这三个图形沿长的一边一共可以摆几个边长1厘米的正方形，沿宽的一边一共可以摆几排。填表后引导学生观察分析表中的数据，并说一说：长方形的长、宽跟它的面积有什么关系?由于学生经历了实际操作活动和想摆的过程，较好地建立了这三个图形面积的表象，并能说出：第1个图形长4厘米，宽1厘米，面积是4(4×1)平方厘米；第2个图形长5厘米，宽2厘米，面积是10(5×2)平方厘米；第3个图形长8厘米，宽3厘米，面积是24(8×3)平方厘米。
表象是形象思维的“细胞”，又是过渡到抽象思维的桥梁。这里经过三次“操作——表象——语言——算式”的反复，去异存同，并舍弃起始过程，从“算式”概括出“公式”。在这一过程中，学生的抽象思维能力得到了很好的发展。
三、数形结合，促使两种思维相辅相成
加强数形结合，可以交互运用抽象思维和形象思维，有效地提高学生的学习效果。例如，学习长方形的周长计算时，在学生根据周长的概念列式计算长5厘米、宽3厘米的长方形周长后，让学生说一说是怎样想的，并且结合学生回答出示第一种算法的线段图(如下)，再让学生根据线段图和长方形周长的特征推算出其他两种算法。
让学生在比较中加深对算理的理解，领悟长方形的周长实际上就是两个长与两个宽的和。这样在学习周长计算时，引导学生运用已获得的周长概念进行分析、比较，借助形象思维对周长图式进行移动、变换，再通过抽象逻辑思维的介入，进行高一层次的抽象概括，让学生既知道算法，又明白算理。在这个过程中，学生不仅加深了对周长概念的理解，而且在获得知识的同时，形象思维和抽象逻辑思维都得到了发展。
在数学教学中，把数和形结合起来，引导学生既从数的方面用分析的方法进行抽象思维，又从形的方面去整体思考，通过类化、联想、想像等活动进行形象思维，充分发挥两种思维的优势，就能很好地把握事物的本质，找到解决问题的途径。例如，学习一位数除两位数的除法时，学生难于理解十位上余下的几是几个十，要把它和个位的数合起来继续去除。为了突破这一教学难点，在学习例题"52÷2”时，采用数形结合的方法进行。如下：
通过操作演示，引导学生边分小棒边思考。讨论竖式计算时，借助数与形(小棒)的结合，通过类比懂得：因为分小棒时把剩下的1捆拆开与2根小棒合并起来是12根，所以竖式计算时十位上余下来的1个十和个位落下来的2个一合起来是12，平均分成2份，每份是6，在商的个位上应写6。这样，使教学难点得到了很好的突破，学生不仅深刻理解了算理，而且发展了思维。
虽然应用题在新教材中没有再独立编排。但这不影响学生通过解决应用题来训练他们的思维。由于应用题是事理、文理与算理三者的结合，所以它的原型比较复杂抽象，学生摄入大脑后难以形成清晰具体的表象。如果采用数形结合的方法画出线段图，可帮助学生建立正确的表象，使隐蔽复杂的数量关系变得十分明朗。例如：“光明小学航模组人数是生物组的4/5，生物组人数是美术组的1/3。航模组有8人，美术组有多少人?”这道例题的数量关系比较复杂，学生往往难以确定把哪个量看作单位“1”。学习时，可以指导学生画出如下的线段图来分析数量关系。
通过线段图，可以十分清楚地看出三组人数之间的关系是：美术组的人数×1/3=生物组的人数；生物组的人数×4/5＝航模组的人数。如果把美术组的人数看作单位“1”，设它为x，学生可以根据线段图很快地列出方程为x×1/3×4／5＝8，解得x＝30；也可以把生物组的人数看作单位“1”，设它为x，根据线段图列出方程为x×4/5＝8，解得x＝10，求出了生物组有10人。而生物组的人数是美术组的1/3，可知道美术组的人数是生物组的3倍，即美术组有30人。
线段图具有半具体、半抽象的特点，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，明确显示出已知和未知的内在联系，激活学生的解题思路。这里线段图的运用、数与形的结合，较好地激发了学生再造性想像，实现了形象思维与抽象思维的互助互补、相辅相成。
用数形结合的方法组织学生进行学习，把发展学生的形象思维和抽象思维结合起来，可以充分发挥两种思维的功能，使得两种思维相互影响、相互促进、和谐发展。
