让不完全归纳力求“完全”
时间：2016-10-29 来源：网络整理 作者：佚名
不完全归纳法是根据对某类事物中部分对象的考察，概括出关于该类事物全部对象的一般性结论的一种归纳推理。在小学数学教学中，考虑到小学生的年龄特征、知识基础和抽象思维能力发展的水平，常常运用不完全归纳得出结论，不再给予进一步的演绎证明。但由于不完全归纳只考察整体的部分对象是否具有某种属性以后，就给出整体是否具有某种属性的结论，所以其归纳过程是不够严谨的，得到的结论也并非一定正确。因此，笔者认为，在教学中教师有必要运用一些有效的策略，让不完全归纳力求“完全”。这样有利于结论的顺利得出，并确保其可靠性，同时还可以促进学生归纳推理能力的发展。
一、感知材料力求“全面”
案例：“认识一个整体的1/4”的教学
师：把一盘桃(4个)平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几?先分一分，再和同学交流。
生 ：每只小猴分得这盘桃的1/4。
师：把一盘桃(8个)平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几?先分一分，再说一说。
生 ：每只小猴还是分得这盘桃的1/4。
师：两盘桃的个数不一样，每只小猴怎么还会得到一盘桃的1/4呢?这两个1/4所表示的桃子个数相同吗?
生 ：不管每盘是几个桃，都是把它平均分成了4份，每只小猴得到其中的一份，所以每只小猴分得一盘桃的1/4。但前一个1/4表示的一份是1个桃，后一个1/4表示的一份是2个桃。
师：想一想，还可以用多少个桃平均分得到它的1/4呢?
生 ：12个桃、一箱桃、一车桃、一个桃园的桃……
师：看来，这里的1/4与桃的具体个数没有关系，我们只要把4个桃、8个桃、一箱桃……分别看作一个整体，把它平均分成4份，每份就是它的1/4。
师：相互交流一下，还可以把什么看作一个整体，得到它们的1/4？
生 ：8个木块、16只小熊、全班同学……都可以看作一个整体，得到它们的1/4。
师：这些都是把一些相同的物体看作一个整体，得到它们的1/4。能否把一些不同的物体看作一个整体，得到它们的1/4呢?
生 ：把2只气球和6面彩旗看作一个整体，气球占全部的1/4……
事实上，既然是不完全归纳，就不可能提供全部的感知材料。感知材料力求“全面”，是指教师要根据学生认知的需要，尽可能地为他们提供充分的感知材料。感知材料是否充分，并非纯粹看数量的多少，而关键在于“材质”。教师要学会多角度、多形式地选“材”，通过变换材料的非本质属性，鲜明地凸现材料的本质属性。上述案例中，教师精心安排了三组感知材料，帮助学生逐步归纳出“一个整体”和“一个整体的1/4”等概念。第一组材料：4个桃子、8个桃子、一箱桃……这组材料，让学生在动态的变化中初步建立“一个整体”的概念，理解“一个整体的1/4”的本质含义。第二组材料：8个木块、16只小熊、全班同学……通过这组材料，拓展了学生对“一个整体”的认识，促进了学生思维的发展。第三组材料：2只气球和6面彩旗……这里通过感知异质个体构成的整体，使学生的认识进一步深化。由于提供的感知材料较“全面”，因而整个归纳活动显得非常自然流畅，学生对概念的理解既清晰又深刻。
二、归纳过程力求“完整”
1.验证。
案例：“加法交换律”的教学
师：你能把等式“□+□=3+4”填完整吗?
生 ：1+6=3+4，2+5=3+4，4+3=3+4……
师：你是怎么想的?
生1：因为右边3+4=7，所以左边方框里的两个数相加也要等于7。
师：观察每个等式，你认为哪个比较特殊?你是怎么想的?
生2：4+3=3+4这个等式比较特殊，因为左右两边的两个加数相同，只是位置交换了一下；而其余的几个等式虽然左右两边的和都是7，但分别是两个不同的加数。
师：你还能再写出一些与“4+3=3+4”相类似的等式吗?在组内交流你写的等式。
生：8+9=9+8，75+29=29+75……
师：这样的等式写得完吗?其实，这些等式都反映同样的规律，你能想办法用一个等式表示出来吗?
生：△+□=□+△，甲+乙=乙+甲，a+b=b+a……
案例中，教师让学生根据“□+□=3+4”写出一些等式，并从中找出比较特殊的等式“4+3=3+4”，初步感知加法交换律的本质特点，即两个加数位置变了，两个加数不变，和也不变。在此基础上，要求学生写出类似的等式，不仅丰富了学生的感知，而且在交流中验证了从个例中发现的规律。可见，举例验证是归纳过程中十分重要的环节。当然，举例验证，可以举正例，也可以举反例，这需要视具体情况而定。
2.想象。
案例：“圆面积计算公式推导”的教学
师：以正方形的边长为半径画一个圆(如下图)，想一想，圆的面积大约是正方形面积的几倍?你能发现圆的面积与它的半径有什么关系吗?
生1：圆的面积大约等于半径×半径×3。
师：你能将圆转化为已学过的图形来研究圆面积的计算吗?把圆平均分成8份、16份，剪开后拼拼看。
生2：我们拼成了一个近似的平行四边形。
师：观察多媒体演示，看一看把圆平均分成32份、64份后，拼成的图形有什么变化?
生：拼成的图形近似于长方形。
师：想象一下，如果把圆平均分成128份、256份……拼成的图形又会有什么变化?
生：拼成的图形越来越接近于长方形。
师：可以想象，如果把圆无限等分下去，就能拼成一个长方形。拼成的长方形与原来的圆有什么联系?根据长方形面积的计算方法，怎样来计算圆的面积?
……
小学生的归纳往往要依赖于直观。由于不可能进行圆无限等分后再拼成长方形的操作，因此只能借助于想象来提升学生的抽象概括。根据圆等分成32份、64份拼成近似长方形，学生借助比较、想象就不难理解把圆平均分成128份、256份……拼成的图形越接近于长方形。这时引导学生再次想象，就容易归纳出“圆可以拼成长方形”的结论，从而顺利推导出圆面积计算公式。可以说，离开了想象，一些不完全归纳会显得十分苍白。
3.深究。
案例：“小数乘小数”的教学
先让学生用计算器分别算出3.6×2.8和1.15×2.8的积，经观察、比较后初步归纳出：计算小数乘法，先按照整数乘法的方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。在此基础上，启发学生根据积与因数的变化规律做深入研究，并举例验证，进而归纳出小数乘法法则。
不完全归纳法依据是否发现了归纳对象的因果规律，而划分为简单枚举归纳法和科学归纳法。上述案例中，用计算器算出两个算式的积后进行的初步归纳，采用了简单枚举归纳法，而根据积与因数的变化规律得出小数乘法法则，则属于科学归纳法。由于科学归纳法找到了事物发生的原因，所以用它得到的结论较简单枚举归纳法可靠。结论的正确性，并不仅仅在于所考察事实的多寡，更重要的是看我们注意的是否为对象的本质属性和因果关系。教学中，注意培养学生的观察分析、由表及里发现事物的因果关系及内部规律的能力，有利于学生掌握科学归纳法。
三、教学方式力求“完美”
案例：“3的倍数”的教学
师：请同学们从百数表中圈出3的倍数。想一想，个位是3、6、9的数都是3的倍数吗?
生1：个位是3、6、9的数不一定都是3的倍数。
师：看来，3的倍数与2、5的倍数不同，它与个位上的数无关，那究竟与什么有关呢?请你们研究一下：把3的倍数个位和十位上的数交换后得到的数还是不是3的倍数?不是3的倍数的数交换个位和十位上的数以后，能不能得到3的倍数?
生2：把3的倍数个位和十位上的数交换后得到的数还是3的倍数；不是3的倍数的数交换个位和十位上的数以后，得到的数仍不是3的倍数。
师：可见，3的倍数与一个数个位和十位上的数有关系。把个位和十位上的数联系起来观察思考，你有什么发现?
生3：3的倍数，它十位与个位上数的和是3的倍数。
师：那三位数、四位数……是否也有这样的特征呢?请你再找几个较大的3的倍数试一试，并在小组里交流。
生4：我发现百位、十位与个位上数的和是3的倍数，这个三位数就一定是3的倍数。
生5：我发现只要千位、百位、十位与个位上数的和是3的倍数，这个四位数就一定是3的倍数。
……
师：通过上面的研究，你认为3的倍数有什么特征?
生6：3的倍数，它各位上数的和一定是3的倍数。
师：如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗?找几个这样的数算一算，并将研究结果在小组里交流。
……
由于3的倍数的特征学生较难发现，所以教师设计了一个层层深入的探究活动，让他们经历逐步归纳的过程：先得到“个位是3、6、9的数不一定是3的倍数”，再得到“3的倍数，它十位与个位上数的和一定是3的倍数”，经进一步验证，最后归纳出“3的倍数，它各位上数的和一定是3的倍数”。在教师的启发诱导下，学生积极主动地参与了整个教学活动，兴趣盎然，思维活跃。学生在获取知识的同时，还学会了归纳的方法。
总之，教师一定要精心设计教学环节，让每个学生都积极主动地经历归纳过程，从而获得对知识的深刻体验，使结论自然生成。
