从本质上来理解“除”与“除以”的含义

时间：2016-11-01 来源：网络整理作者：佚名

　　最近读了《小学教学参考》(数学版)第6期刊登的《“除”与“除以”之我见》一文，觉得张维宁老师说的“应该把‘除’与‘除以’两个概念统一起来”，我实不在敢苟同。
　　“除”与“除以”既有联系又有区别。确实，学生对这两个概念很容易混淆，虽经过老师多次强调、反复操练，但错误仍有不同程度的出现。我询问了很多教师对此问题的处理，一般都是让学生经过反复地读、说、写、练，把错误率降到最低程度。其宴，这是没有从本质上来理解“除”与“除以”的含义。下面，谈谈我对“除”与“除以”的理解。
　　
　　一、理解“除”的含义
　　
　　《现代汉语词典》中对“除”的一种解释是：用一个数把另一个数分成若干等份叫除，例如用二除六得三。我国古代数学论著中，也都是用“除”表示这个含义。如《九章算术》第一章“方田”中有例：
　　1　今有田广十五步，从十六步。问为田几何?答日：一亩。
　　2　又有田广十二步，从十四步。问为田几何?答日：一百六十八步。
　　方田术日：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。
　　意思是，在田亩的计算中，15步×16步=240(步×积步)，即为一亩，然后用240除男一块田的积步数，即为亩数。用现在的话说，240是除法中的除数，是把另一块田的积步数等分的份数。查阅其他古代数学论著，在讲除法中均用到的是“除”而没有用到“除以”。看来，除法中用“除”表示，有着其悠久的历史。
　　
　　二、理解“除以”的含义
　　
　　首先，何为“以”?这需要从我国古代汉语的角度来理解。古代汉语中，“以”作为一个介词，它的用法比较复杂，最常见的用法是表示动作行为以某物为工具或凭借，相当于现代汉语中的“用”或“拿”，如“以毒攻毒”、“以子之矛，攻子之盾”等。但“以”的用法有一点值得注意，就是它在句中的位置，可以用在谓语动词之前，也可以用在谓语动词之后。如《荀子·劝学》中，“以羽为巢，而编之以发”，这两个“以”字的位置就不同。在现代汉语中，把“以”用在谓语动词之后的也很常见，如“绳之以法”、“动之以情，晓之以理”等。而现代数学的除法中用“除以”来表示，正是沿用了这种方式。如6÷2可表示为“6除以2”，意为“用”或“拿”2除6，即把6分成2等份，“以”是放在了谓语动词“除”之后的。
　　
　　三、为什么同时使用两种表示法?
　　
　　我认为，用“除”表示除法乃我国古代数学家创造之本意，此方法不可放弃。但随着祖国语言文字的发展，读写顺序从古代的“从右到左”发展为现在的“从左到右”，为了符合读写顺序，使读写方便，现代数学中除法也用“除以”来表示了，就是“用……除”的意思，所以就有了两种方法并存的现象。
　　至于张维宁老师所说，应该把两个概念统一起来，我认为不可。这跟“乘”与“乘以”不同，如“2×3”，不管是“2×3”或“3×2”，其结果一样，而且意义也可以转化。但“6÷2”这个式子，它表示的意义和结果是唯一的，只能是“2除6”，把“6分成2等份”，不能表示成“6除2”，否则将会造成数学概念的混乱，使学生更加模糊。
　　所以，学生对这两个概念的理解，教师要“晓之以理”，至少我们教师必须理解它们的基本含义和本质上的区别。

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