１／２个苹果与１／３个西瓜哪个大？
时间：2016-11-02 来源：网络整理 作者：佚名
在近期发表的一些涉及分数意义和分数大小比较的文章中，论及到对两个大小不等的宴物或图形所表示的分数比大小的问题，笔者在小学教师的课堂设计与教学中也时有所闻。如：“这个苹果的1/2与那个西瓜的1/3比较，到底是1/3大还是1/3大?”估计教师这样设计的意图，既是为了体现在具体直观的情境中理解分数及分数大小的意义，也是为了体现学习的探索性，而人为地设置一些学习障碍，以培养学生的探索能力。然而，实际教学效果往往适得其反。因为这不仅影响了学生对分数意义和分数大小比较的理解，更严重影响了学生形成正确的数量意识。
产生这种不正确的教学现象的首要原因，是教师自身也缺乏相关的数量意识。下面，本文对此作粗浅的剖析。
众所周知，数量意识的形成过程离不开大小的比较。而数学中所研究的“数量”包含“数”与“量”两方面，“比较大小”也分成数的大小比较和量的大小比较。为了理解分数大小比较的特点，应先分析自然数的大小比较，以便于类比。
一、自然数的大小
1 自然数具有两种存在方式：基数与序数。基数，表示集合中元素的个数(体现多少)；序数，表示某个元素在集合中的位置(体现顺序)。
(1)作为基数的自然数可以比较大小(在小学数学教学中，即使是抽象地比较两个自然数的大小，也是默认为这两个数分别表示物体的多少)。此时，每个数是在相同自然数单位“1”的前提下，表现为“1”的个数的多少。比较大小的实质是比较单位个数的多少。
(2)在序数意义下，自然数无大小可言，即使在某种特定的约定下的比较，如第1名冠军比第2名亚军好、围棋9段比8段级别更高等，但这里的比较已经脱离了自然数本身的大小意义。
2 当自然数用来表示量的量数时，比较两个量的大小就有两种情况：
(1)两个量是非同类最时不能比较大小。如2米与3千克，4平方厘米与3张纸等等。除非从这些名数中抽取量数(撇开物体背景)，去比较与量已经无关的数的大小，但此时的比较就成了上述所说过的类型。
(2)当两个量是同类量时，可以比较量的大小，但在大小关系中，计量单位远比量数起着更重要的作用。比如800毫米=80厘米=8分米、8分米＞80毫米等，量数无法直接反映量的大小。只有当两个量的计量单位相同时，量数的大小才反映了量的大小。
二、分数的大小
分数既可以撇开具体事物，抽象地表示为“分率”——单位“1”的几分之儿，又可以表示一个具体量的量数，如1/4kg中的1/4。
1 作为“数”的分数。
要比较两个分数的大小，实质是在相同分数单位条件下比较分数单位的个数。如：因为3个1/4比2个1/4大，所以3/4＞2/4。
在实际教学中，通常用实物、图形等直观辅助手段帮助学生理解。如将长方形四等分，表示2份和3份的数(或每一份表示为一个分数单位，接着再数出这样的2份与3份)用分数2/4和3/4来表示。此时，只需要考虑份数的多少，而不必考虑整个长方形和每一份面积的大小。图形仅仅作为得出分数的直观背景，而不应该强化其面积大小作为数大小比较的直观依据，否则就成为文中下述量的比较。因此，即使3/4是从线段(长度)等分得到，而2/4是从长方形(面积)等分获得，都不影响对这两个数进行大小的比较。由此联想到，一些教师在教学中常常把分数说成“把一个饼平均分成2份，取其中的1份，是1/2”，这显然是错误的。因为取出来的是饼，不是数。正确的说法应该是：把一个饼平均分成2份，表示这样1份的数是1/2。
2 作为“量数”的分数。
与自然数类似，两个量数是分数的量不一定可以比较大小。当两个量是非同类量时，就不能比大小，如1/4m与3/4kg。
当两个同类量相比较，虽然可以比较大小，但起关键作用的仍是计量单位。如1/4cm与36/4cm，只比量数就没有意义。只有在统一计量单位的前提下。量数的大小才反映量的大小。
例如，两个大小不同的长方形分别四等分，从图形直观相比较，其实是对分别表示两个1/4的这部分图的面积的量的比较。这不是由两个量的量数的大小所能反映的，因为两个量的“计量单位”不同。如两个长方形面积分别是4cm2和8cm2，因而两个量数1/4对应的量的计量单位“1”就不同，分别是1个4cm2与1个8cm2。只有先统一计量单位(如统一成以8cm2为1个计量单位)，则第一个表示面积大小的量数相当于新单位的1/8而第二个量数仍为1/4。此时，量数间的大小关系就直接反映两个量的大小关系。
再回到本文开始提出的问题：“这个苹果的1/2与那个西瓜的1/3比较，到底是1/2大还是1/3大?”这对小学生而言似乎在比较两个分数的大小，而其实质是存比较它们的体积(或质量)，即两个量。在比较过程中，1/2与1/3这两个分数已不是主要因素。但正是由于貌似分数比较实是量的比较，不仅干扰了学生的数量意识，也让教师的教学思路进入歧途。1/2＞1/3是根据分数的意义确定的，即由单位“1”平均分成2份和3份，分别表示这样1份的数。这里的单位“1”是自然数的单位，即逐次添“1”形成自然数列(除0外)，然后逐次等分形成分数的单位，它与任何实物、图形无关。在这样的规定下，1/2与1/3当然有确定的大小关系。但当分数和图形或实物相联系，就已经赋予了量的含义。小学数学教学中常常商观地利用图形、实物比较分数的大小，是由小学生直观形象思维为主而不得已为之。这本似婴儿使用“学步车”，其目的是尽快弃车让他自己走，而人为增加在“学步车”上的花样动作，无助于学步。同样，分数教学中比较的是分数的大小，而不是量的大小，所提供的直观材料应尽可能简洁，因为使用这些材料的目的是尽快不需要这些材料。否则，数的比较与量的比较相混淆，对知识的理解慢是事小，数量意识不清是大事。
