数形结合，从“方法”到“思想”的飞跃
时间：2016-11-02 来源：网络整理 作者：佚名
一、数形结合，教学论视角的诠释
数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位。从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。
数形结合在小学数学教学中具有得天独厚的优势。首先，小学数学教材的编写将“数与代数”、“空间与图形”等各领域内容交替呈现，没有明确的知识鸿沟，这为数、形互补提供了良好的条件。第二，小学阶段是“数”、“形”思想形成的初期，“算术”、“几何”尚未形成明确界限，解决问题时，数与形的连结会更自然和谐。其三，小学生形象思维占主导地位，逻辑思维能力又需要着力培养，数形结合不仅能扬其长，并能补其短。
心理学研究表明，儿童接受具体性文字中的信息比学习抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具体名词能产生心理映像（如“凑十法”与“短除法”同是演算规则名词，但前者比后者更容易理解与记忆），而儿童利用形象的图式学习比用纯文字推演更有兴趣、更容易学习。但另一方面，用数学符号和专用术语呈现的数学，由于其严谨、清晰、简约、深刻，更体现着数学学科在培养儿童的科学精神中的真正优势。
综上所述，“形”和“数”是数学知识表现的两种形式，“数”准确而抽象、“形”形象而粗略，各有所长。而数形结合是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于数学的多样化表现，也有利于儿童更好地认识数学——用数量的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质，这正是数形结合的本质所在。
二、数形结合，作为数学方法的表现形式
数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。
1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。
（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。
（2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。
（3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。
（4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。
2.以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。
对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。
几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。
对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。
三、数形结合思想的形成途径
数形结合在方法论层面，只是一种具有普遍性和可操作性的程式，只有当它成为儿童解决数学问题的自觉意识时，才上升为“数学思想”，才成为“方法”的理论基础。
数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的历练，而教师提供时间与空间是“方法”提升为“思想”的保证。
1.教师引领。在数学思想形成的过程中，教师的榜样作用至关重要。教师的引领既包括数形结合方法的示范，也包括教给学生技能和学生创造运用数形结合思想的机会。教师示范不仅要展现令人信服的结论，更重要的是数形结合思想如何体现在解决问题全过程中，包括：①数形结合的思路是如何想到的；②方法是如何运用的；③在比较与反思中体会其优势。
2.群体互动。数学思想的形成离不开群体间的交往，因为个体的数学成长需要团体氛围，需要在与他人交往中获得肯定。如将自己解决数学问题的方法与他人的观点进行对照比较和争辩，让多种思维方式交织，个体从中感受到数形结合解决问题的优势，从而开阔思路、体验成功。学生在解决数学问题时都以个体的经验为背景建构对问题的理解，而在此基础上的同伴交流，使学生看到数形结合对问题的理解方式、解决模式的不同，思维活动得以彰显。这不仅使个体的思维过程更清晰，也使群体解决问题的方式更丰富，共同受益。
3.评价导向。由于数形结合思想常常不是表现为数学活动的结果，而表现在思维方式与过程中
