追问学校数学与生活数学的分野：三角形的认识

时间：2016-11-03 来源：网络整理作者：佚名

　不久前，学校组织了一次“青年教师同上一节课（《三角形的认识》）”的教学观摩活动。连续五节课中，学生们多次类似的质疑，引发了听课老师对三角形稳定性的深入思考。下面是其中的两则案例。
　　案例1：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”
　　师：同学们想体验一下三角形的稳定性吗？
　　生（齐）：想——！
　　师：在每张课桌的抽屉里各藏了一个三角形和四边形木架，请拿出来，同座之间相互拉一拉。
　　大家正玩得高兴，突然一位学生叫起来：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”兴奋的叫声几乎吸引了所有人的目光。只见学生手中拿着由四根小棒钉成的木架（如下图）：
　　

　　“三角形具有稳定性。学生手上的木架是三角形的。所以它应具有稳定性。”这似乎是一个严密的三段论。可事实上，学生手上的三角形木架却不稳定。这该如何解释呢？
　　案例2：“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。”
　　师：三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用，如自行车中部的车架就是三角形的（出示图片）。
　　

　　一个学生嘀咕：“那好像不是三角形的。”
　　“对，不是三角形，是四边形！”一些学生响应。
　　“这个车架虽然是四边形，但它是铁的，也有稳定性。”又一个学生补充道。
　　对于“三角形稳定性”，教材中是这样描述的：“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变。可见，三角形具有稳定性。”同理，用四根钢管焊成一个四边形（车架），用力拉这个四边形，这个四边形的形状不会改变。可见，四边形也就具有稳定性了。但是，四边形怎么会具有稳定性呢？
　　
　　分析
　　
　　曾尝试着这样解释案例1中的问题——四根小棒围成的这个木架形状虽然是三角形的，但它有一条边是由“两根”小棒组成的，所以它就容易变形了。然而当我们对这个解释再作分析时，突然发现，其实我们已经从另一角度默认了“有的三角形不具有稳定性”这种错误论述。
　　要真正向学生解释清楚这些看法似简单甚至幼稚的问题，并不像我们想像的那么简单。课堂上执教老师突然遇此质疑，视而不见、避而不答，应该说情有可原！可如果今后我们再遇到此问题，那该如何处理？
　　带着思考和疑问，课后我讨教了几位经验丰富的老师。他们的意见大体可归为两类：
　　一种意见认为，导致上述矛盾的主要原因在于，我们将“三角形”与“三角形物体”混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性。如案例1中，对于“三根小棒围成的三角形”这个“图形”来说具有稳定性，但对于四根小棒围成的三角形木架这一“物体”来说，它却容易变形。再如，四根钢管围成四边形“车架”虽不易变形，但它并不代表“四边形”就具有稳定性。从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。
　　另一种意见认为，主要原因在于学生将生活中的“稳定”与三角形稳定性的“稳定”混为一谈。生活中，将一根木棒插入地面，使劲儿摇它，它不动，我们说这根木棍很稳定，显然此“稳定”并非三角形稳定性之“稳定”。
　　认真推敲上述两类分析，再结合自己的想法，笔者认为，上述矛盾的根本原因在于老师们对数学教学生活化、活动化的误解，导致了对生活经验负面干扰的忽视和对数学自身科学性、严密性和弱视。这在学校的观摩课中明显表现为，几乎所有上课老师的课堂中都出现了相似的环节：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现“三角形木架不管怎么使劲儿拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了”，于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性，四边形容易变形”。
　　热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴，印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上——四根木棍围成的三角形因为“拉”得动，所以“不”具稳定性；自行车车架虽是四边形，但它是铁的，“拉”不动，所以就“具有”稳定性。
　　其实，打开百度网站，搜索“三角形稳定性”，就会发现很多网页中的“三角形稳定性”明确指向于“形状和大小完全确定”。其中最具代表性的描述是：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。
　　比较教材和网上关于三角形稳定性的描述，应该说各有千秋。网上的描述明确地揭示了“三角形稳定性”的本质特征“边长确定，则大小、形状唯一”，而教材上的描述则显得亲切、形象，与生活十分贴近。
　　
　　尝试
　　
　　学生思维的“具体、形象”与数学自身的“抽象、形式”之间的关系到底该如何处理？能在两者间找到一个恰当的平衡点吗？在与同事们一起思考、推敲后，我试上了一节《三角形的认识》，截取其中关于三角形稳定性的教学片段如下：
　　师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？
　　生（齐）：能。
　　老师请来几位认为“能”的学生到投影仪上演示，若干次尝试后，学生们发现不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。
　　于是老师顺势引导学生归纳：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”
　　师：下面我们来做个实验——在每一张课桌的抽屉里各藏有一个三角形和多边形架，请拿出来，同座之间互相拉一拉……
　　师：通过实验你发现了什么？
　　生：我发现三角形木架怎么拉也不变形，而多边形木架轻而易举就变形了！
　　师：知道这是为什么吗？
　　生：因为三角形只要三条边长固定了，它的形状和大小就完全确定了。
　　生：因为多边形的边长虽然固定，但它的形状和大小并不能确定……
　　将三角形稳定性明确定位于“边长确定，大小、形状也就确定”，先用牙签围三角形，再借助经典的拉三角形、多边形木架验证之。这样的教学不仅形象、易懂。而且科学、明确地指向三角形稳定性的本质，有效地避免了理解上的歧义。现在回过头再来解释文章开始提及的两个问题，就显得有理有据，更有说服力了。
　　案例1中，四根小棒围成的三角形木架虽然有两条边长度固定，但它的第三条边由两根小棒组成，它两端点间的距离随两根小棒的活动而变化。边的长度不确定，其形状、大小也就不能确定。由此可见

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