五年级奥数解题指导（第55讲）：开放题

时间：2016-11-12 来源：网络整理作者：佚名

　　《奥赛天天练》第五十五讲《开放题》。
　　所谓开放性问题是指：
　　①问题内容是开放的，涉及到的面比较广，不仅仅局限于教材；
　　②问题的条件是开放的，可能完整，也可能不完整；
　　③问题的解答途径是开发的，具有探索性，孩子们可以运用已有知识和生活经验，提出假设、相互讨论、进行推理计算，问题的解答方式多样化，一题多解；
　　④问题的答案是开放的，要求孩子从多个方面进行思考，不能满足于一个答案，要尽可能多地寻求答案，有时还要对众多答案进行甄别，选择最优化答案。
　　我们常常通过列表或分类枚举等方法，列出开放性问题的所有答案。通过解决开放性问题的实践,可以拓展学生的视野,激发孩子的创造潜能,促进学生发散思维、求异思维的发展，让孩子学会学习。
　　《奥赛天天练》第55讲，模仿训练，练习1
　　【题目】：
　　从1～9这9个自然数中，请找出3对互质数。你能找出更多对互质数吗？
　　【解析】：
　　按从小到大的顺序列出这9个自然数：
　　1、2、3、4、5、6、7、8、9
　　再根据互质的定义，从左往右依次找出与每个数成对出现的互质数对（避免重复）：
　　与1互质的数有8对；
　　与2互质的数还有4对：（2、3），（2、5）、（2、7）、（2、9）；
　　与3互质的数还有4对：（3、4），（3、5）、（3、7）、（3、8）；
　　与4互质的数还有3对：（4、5）、（4、7）、（4、9）；
　　与5互质的数还有4对：（5、6）、（5、7）、（5、8）、（5、9）；
　　与6互质的数还有1对：（6、7）；
　　与7互质的数还有2对：（7、8）、（7、9）；
　　与8、9互质的数还有1对：（8、9）。
　　共有符合条件的互质数对：8＋4＋4＋3＋4＋1＋2＋1＝27（对）。
　　《奥赛天天练》第55讲，模仿训练，练习2
　　【题目】：
　　写出两组满足条件1/a＋1/b＝1/2001（a，b为两个不相等的四位数）的a，b的值？
　　【解析】：
　　本题就是要把1/2001分解两个分母是四位数的单位分数的和。
　　先分解质因数：2001＝3×23×29＝1×2001＝3×667＝69×29＝87×23
　　2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001
　　按单位分数分解方法，可得符合要求的分解结果共有四种：
　　1/2001＝1/2001（1+3）＋3/2001（1+3）＝1/8004＋1/2668
　　1/2001＝23/2001（23+29）＋29/2001（23+29）＝1/4524＋1/3588
　　1/2001＝69/2001（69+29）＋29/2001（69+29）＝1/2842＋1/6762
　　1/2001＝87/2001（87+23）＋23/2001（87+23）＝1/2530＋1/9570
　　注：单位分数的分解结果，既要注意到分母要求（四位数），又要注意做到不重复，在2001的因数中任取每两个一组带入分解，成比例各组带入分解的结果相同。
　　《奥赛天天练》第55讲，巩固训练，习题1
　　【题目】：
　　有一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键，蓝键为“输入/删除”键（按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上数删除）。每按一下红键，则显示屏上的数变为原来的2倍。每按一下黄键，则显示屏上的数的末尾数自动消失。现在先按蓝键输入21，请你设计一个程序，要求：
　　（1）操作过程中只能按红键和黄键；
　　（2）按键次数不超过6次；
　　（3）最后显示屏上是3。
　　【解析】：
　　只能按红键和黄键，则计算结果只能作翻倍和去掉尾数这两种变化。在这种情况下，要使最后显示屏上是3，就必须先使计算结果最高位是3。
　　程序一：按红键、按红键、按红键、按红键、按黄键、按黄键。
　　连续四次按红键显示的数为336，最高位为3，再连续两次按黄键，去掉末尾两个数字，最后显示屏上是3；
　　程序二：按黄键、按红键、按红键、按红键、按红键、按黄键。
　　先按黄键去掉21的尾数1，在连续四次按红键显示32，最后按黄键，去掉末尾数字，最后显示屏上是3。
　　同理，改变红、黄键的按键顺序还可以得到其它不同的程序。
　　《奥赛天天练》第55讲，巩固训练，习题2
　　【题目】：
　　只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除，怎样修改？
　　【解析】：
　　225＝9×25
　　要使修改后的数能被225整除，这个数必须既能被25整除又能被9整除。
　　21475这个数的末尾两位数75能被25整除，所以这个数能被25整除，末尾两位数字不能变动，只能变动前三位数字。
　　2＋1＋4＋7＋5＝19
　　19减去1或加上8都能被9整除，所以这个数的前三位数字，改动其中任意一个数字，使其减1或加8，这个数就同时能被9整除，修改后符合条件的数有四个：11475、20475、21375、29475。
　　《奥赛天天练》第55讲，拓展提高，习题1
　　【题目】：
　　如图，星球大厦第八层的写字楼共有16个面积相等的房间，阴影部分表示公用的过道。现将这层楼出租给四家公司做办公室用，要求：

　　（1）每家公司“三室一厅”，面积相等；
　　（2）每家公司“三室一厅”的平面图形形状不同（经旋转后形状相同，算同一种形状）；
　　（3）每家公司至少有一个房间的门与公共通道想通。
　　请你设计出一种符合以上3个条件的方案。（只需要在图中画出分割线）
　　【解析】：
　　由题意可知，要把图中的16个小方格按要求平分为4份，每份4格。可以用铅笔先在图中画一画，找出所需答案。
　　答案不唯一，列举两种如下：

　　《奥赛天天练》第55讲，拓展提高，习题2
　　【题目】：
　　五年级甲班有48名学生，在读书读报活动中，班委决定每人购买一本单价为5元的书，书店对购买50本及以上者给予打九折优惠（如买50本，按5×50×0.9付款）。请你设计几种不同购书方案，并确定哪一种方案最好？
　　【解析】：
　　方案一：直接按需要购买，用48本的价格买48本书。
　　购书总价为：48×5＝240（元）。
　　方案二：多买2本，凑成50本，用50本的打折价格买50本书。
　　购书总价为：50×5×0.9＝225（元）。
　　方案三：与其它班级合作，凑成50本，用50本的打折价格买48本书。
　　购书总价为：48×5×0.9＝216（元）。
　　根据购书总价可以确定，方案三总价最便宜，是最好的方案。
　　【后记】：
　　风风雨雨，苦乐相伴，又是一年过去了，终于完成了五年级奥数教材解析，只为了心中的一份执着。
　　在新的学年里，我将会继续努力，争取按时完成六年级奥数教材的解析。
　　但愿我足够坚强，希望我能继续坚持！

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