分数乘除法实际问题的结构分析和建议
时间：2016-11-19 来源：网络整理 作者：佚名
分数乘除法实际问题包括“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”两类问题。这些内容学生在今后的学习和工作中经常要用到，历来是小学数学教学中的重点。又因为这两类题的数量关系比较抽象，因此它又是教学中的一个难点。
一、分数乘除法实际问题的结构分析
分数乘除法实际问题的数量关系，集中反映在含有倍比关系的那个条件中。倍比关系所表示的意义可分为两种：
一是表示两个数量之间的关系，其表述形式有：
（1）一个数是另一个数的几分之几，如“红花朵数是黄花的”；
（2）一个数比另一个数多或少（它的）几分之几，如“红花朵数比黄花少；这类数量关系实质上是整数实际问题中倍数关系的发展。
二是表示部分量与总量之间的关系，一般有两种情况：
（1）把总量分为两个部分，如“修一条公路，已修全长的”；
（2）把总量分为三个部分，如“一块地，用它的种油菜，种棉花，其余的种蔬菜”。这类数量关系实质上是整数实际问题中份总关系的发展。
以上的数量关系都可以根据分数乘法的意义用乘法式子表示出来。例如“修一条公路，已修全长的”，可以写成下面的一些数量关系式：
全长×＝已修的长度；
全长×（1－）＝剩下的长度；
在上面的关系式中，如果表示“1”的数量是已知的，要求它的几分之几是多少，则根据一个数乘以分数的意义用乘法解；如果已知表示“1”的数量的几分之几是多少，要求表示“1”的数量，则可以设表示“1”的数量为x，列方程解，或者根据分数除法的意义直接用除法解。
只有从整体上把握分数乘除法实际问题的结构特点和数量关系，教学中才能胸怀全局，赡前顾后，正确理解和处理局部教材，有针对性地改进教法。
二、几点教学建议
1．使学生正确理解分数乘除法的意义
分数乘、除法的意义是解答分数实际问题的依据，而分数乘法的意义又是最基本的。因为，无论是分数乘法实际问题还是分数除法实际问题，都可以根据分数乘法的意义列出算式或方程。如果是分数除法实际问题，在列出方程后，学生容易根据分数除法的意义将“x×＝ａ”转变为“ａ÷＝x”。熟练以后，自然会知道直接用除法解。教学中要多举实例帮助学生正确理解分数乘法的意义，并在实际运用中逐步加深理解。
2．抓好基础训练
教学中可以结合教材内容组织下列训练：
（1）看线段图叙述题意，列出算式或方程。
例① 100米
?
题意：求100米的是多少。列式：100×
?
例②：
48米
题意：（ ）米的是48米。
列式： x×＝48，48÷
（2）找单位“1”，画线段图。
例：在下面各题中表示单位“1”的数量下边画上线，再画出线段图。
①男生占全班人数的。
部分量与总量之间的关系，用一条线段表示。
②红花朵数是黄花朵数的。
两个数量之间的关系，用两条线段表示。
（3）改变题目条件的叙述方式。
例：不改变题意，把下面各题中加粗条件换一种说法。
①一个学校有三好学生168人，占全校学生人数的，全校有学生多少人？
（换说成：全校学生人数的是168人）
②苹果树的棵数是梨树的，苹果树有180棵，梨树有多少棵？（换说成：梨树棵数的是180棵）
（4）找具体数量和倍比关系的对应关系。
①在括号里填写与倍比关系相对应的量。
如果二月份烧煤量是元月份的，那么“1”表示（ ），表示（ ），“1－”表示（ ），“1＋”表示（ ）。
②在括号里填写与有关的量相对应的倍比关系。
ａ．甲仓存粮比乙仓多，甲仓存粮数是乙仓的（ ），甲、乙两仓存粮相当于乙仓的（ ）。
ｂ．绵羊只数比山羊少，绵羊只数是山羊的（ ），两种羊的只数相当于山羊的（ ）。
ｃ．一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天多修了全长的（ ），两天共修了全长的（ ），还剩下全长的（ ）。
（5）找数量间的相等关系。
例：“前年产量比去年少”。根据一个数乘以分数的意义，写出题中数量间的相等关系。
去年的产量×＝前年比去年少的产量；
去年的产量×（1－）＝前年的产量；
这些基础训练可以帮助学生深刻理解分数实际问题的结构特点和数量关系，形成解题思路。
3．帮助学生掌握解题思路
首先要使学生掌握课本上例题提示的思路，即：（1）确定表示单位“1”的数量；（2）分析题中其他数量相当于单位“1”的几分之几；（3）根据分数乘法列式或列方程。这种思路基本上是综合法，学生容易掌握。但是不能把这种解题思路模式化，否则会产生消极的影响。例如“黄花的朵数是红花的，黄花比红花少18朵，红花有多少朵？”不少学生见倍比关系前面没有“增”、“减”字样，便错解成：18÷＝24（朵）。
可见，分数乘除法实际问题的思路教学，除了让学生掌握课本上提示的以外，还要注意分析法和综合法的协同运用。分析是为了综合，而综合必须根据分析，不根据分析的综合往往带有盲目性。对稍复杂的分数实际问题，要注意引导学生在全面理解题意的基础上，先对问题进行分析后再将有关条件进行综合。如上题的分析过程是：要求红花有几朵，就要知道“18朵”相当于红花朵数的几分之几；“18朵”是黄花比红花少的朵数，那么黄花朵数比红花少几分之几呢？〔分析〕再由条件“黄花的朵数是红花的”，把红花朵数看作“1”，则“18朵”相当于红花朵数的“1－”，红花朵数是：18÷（1－）＝72（朵）〔综合〕这样分析解答，就可以避免上述错误。
4．精心设计练习
有效的练习是使学生掌握知识、培养能力和开发智力的重要途径。要使练习有效和高效，就要精心设计，下面几种练习形式可供参考。
（1）对比练习。除课本上的对比练习外，可以补充下列内容，使学生分清两类易混题的区别。
①题中的已知数量相同，但数量表示的意义不同。
ａ．杨树的棵数是松树的，杨树有48棵，松树有多少棵？
ｂ．杨树的棵数是松树的，杨树比松树少48棵，松树有多少棵？
②题中的已知倍比关系相同，但倍比关系表示的意义不同。
ａ．红糖比白糖多24千克，白糖重量比红糖少，白糖有多少千克？
ｂ．红糖比白糖多24千克，白糖重量是红糖的，白糖有多少千克？
（2）沟通练习。一是纵向沟通一步与多步的联系。
例：拖拉机厂八月份计划生产拖拉机225台，上旬完成了计划的，中旬完成了全月计划的。__________________________？（补充不同的问题，列出算式）
这道题可以补充多个不同的问题。如果将上题改为：“拖拉机厂八月份上旬完成了全月计划的，中旬完成了全月计划的，________________。全月计划生产拖拉机多少台？”让学生补充不同的条件，又可以列出几道不同的除法算式。
另外，横向沟通乘、除法实际问题的联系。
例如先让学生解一道“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题，接着将它改编为“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题，然后将这两道题分别改编为一道乘法实际问题和一道除法实际问题（例略），让学生解答，以期横向沟通三种分数实际问题之间的联系。
只有进行纵横沟通，才能使学生深刻理解分数实际问题的数量关系，形成认知
